[Usya100]

Это чисто для меня. НЕ смотреть! просто у меня контроша завтра

SPI.С2.1. В кубе A..D1 найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1.

Проведем диагональ В1С. Так как в квадрате диагонали перпендикулярны, то В1С⊥ВС1. Кроме того, В1С⊥АВ (теорема о трех перпендикулярах), а поэтому В1С - перпендикуляр к плоскости АВС1 (данное обоснование совпадает с приведенным в пособии).
Пусть В1С пересекает ВС1 в точке О. Тогда АО - проекция АВ1 на плоскость АВС1. Поскольку угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость, то углом между прямой АВ1 и плоскостью АВС1 является угол В1AО.
sin∠В1AО=В1О/АВ1=1/2
Откуда ∠В1AО =30°.

SPI.С2.2
Ребра AD и ВС пирамиды DABC равны 24 и 10 см. Расстояние между серединами ребер BD и АС равно 13 см. найдите угол между прямыми AD и ВС.


Пусть Е - середина ребра АС, F- середина ребра BD, EF=13.
Прямые АD и ВС - скрещивающиеся, а угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Проведем через точку Е прямую EG||BC и пусть G - точка пересечения этой прямой со стороной АВ. Очевидно, что G - середина АВ. Соединим G c F. так как G и F -середины АВ и ВD соответственно, то GF - средняя линия треугольника АВD, а значит, GF||AD. Таким образом, угол между прямыми AD и ВС равен углу между GF и GE, то есть углу FGE.
Учитывая, что GF и GE - средние линии, имеем GF=12, GE=5, откуда по теореме, обратной теореме Пифагора, ∠FGE=90°.

SPI.С2.3.
Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=ВС=20, АС=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1, причем ВР:РВ1=1:3. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР.


Так как плоскости АВС и А1В1С1 параллельны, то искомый угол равен углу между плоскостями АСР и АВС. Построим линейный угол данного двугранного угла.
Проведем ВО⊥АС (так как треугольник АВС равнобедренный, АВ=ВС, то О- середина АС) и соединим точки О и и Р. Учитывая, что призма прямая и, следовательно РВ⊥плоскости АВС, имеем, что ВО- проекция РО, откуда по теореме о трех перпендикулярах РО⊥АС. Следовательно, угол РОВ - линейный угол двугранного угла между плоскостями АСР и АВС. Его тангенс можно найти из прямоугольного треугольника РВО.
tg∠PBO=PB/BO (BP=(1/4)BB1, BO находится из треугольника АВО)
Ответ:0,5
Вопрос:
Правильно ли в задаче SPI.С2.3. писать: «Так как плоскости АВС и А1В1С1 параллельны, то искомый угол равен углу между плоскостями АСР и АВС. »
Как в школе пишут?


SPI.С2.4.
Основание прямой треугольной призмы АВСА1В1С1— треугольник АВС, в котором АВ = АС = 8, а один из углов равен 60°. На ребре АА1 отмечена точка Р так, что АР: РА1 = 2 : 1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и СВР, если расстояние между прямыми АВ и С1В1 равно 18⋅√3.

См. SPI.С2.3. за двумя исключениями:
1) так как в треугольнике АВС АВ=АС, а один из углов равен 60°, то данный треугольник правильный;
2) АВ и С1В1 - скрещивающиеся прямые. Расстояние же между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, каковым является отрезок ВВ1 (это дает нам длину бокового ребра, после чего задача сводится к предыдущей).

SPI.С2.5.
См. SPI.С2.4
SPI.С2.6.
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1и ВС1.


Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Проведем через точку С1 прямую, параллельную АВ1. Пусть О- центр нижнего основания призмы Рассмотрим четырехугольник АВ1С1О. Легко показать, что он является параллелограммом, а значит, С1О||АВ1. Поэтому искомый угол - это угол ОС1В. Рассматривая треугольник ОС1В и применяя теорему косинусов, получаем, что cos ОС1B=3/4
Ответ: 3/4
SPI.С2.7.
В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВD1

В данном случае прямые опять же скрещивающиеся, но построить прямую, параллельную одной из них и проходящую через точку другой прямой, несколько легче. Диагональ D1E||AB1, а потому искомым углом является угол ВD1E. Его косинус находится из треугольника ВD1E (стороны которого легко находятся) с помощью теоремы косинусов.
Ответ: sqrt(2)/4
В принципе стороны, действительно, находятся легко. Но что-то технически дольше, чем в задаче SPI.С2.6. Нет ли хода попроще?
С2.9 можно продолжить DE до пересечения с продолжением AF в точке G, Тогда E1G||B1A и равны,а диагональ параллелограмма ABEG достаточно легко находится.

Получается E1G=sqrt(2), E1B=sqrt(5), BG = sqrt(7), угол 90

С2 Вариант 10
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S - вершина), все ребра которой равны 1, найдите косинус угла a между плоскостями АВС и BCS.

1) SABCD - правильная, SН -высота пирамиды, где Н - точка пересечения диагоналей основания.
2) Треугольник СНВ - равнобедренный, так как пирамида правильная АВСD квадрат, а диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, СН=НВ.
НК -высота и медиана треугольника СНВ.
3) SABCD - правильная, SB=SC. Треугольник BSC -равнобедренный. SК - медиана и высота треугольника BSC.
Угол SКН - линейный угол двугранного угла образованного плоскостями АВС и ВСS. Задача сводится к нахождению cos 45°.


Аналогично предыдущему пункту AD=BD=DC, а из симметричноcти точек С и С1 следует и равенство DC=DС1, откуда AD=DC1=BD. Тогда ∠ADB=∠1=180°-2α, равный ему вертикальный угол СDE, а также угол EDC1равны 180-2α, а тогда ∠СDС1=360°-4α. Используя дважды теорему о внешнем угле треугольника, получаем, что DC1A=180°-2α, а ∠BC1D=90°-α, откуда искомый угол АС1В=90°-α.
Если α=45°, то точка С1 совпадает с точкой А, откуда АС1В=?

Примечания: 1) кажется все очень громоздким
2) вроде как прослеживается параллельность, м.б. она позволила бы получить результат легче
Какие у кого способы?

Я думаю, что самый здесь рациональный способ Гостя. И мой способ весь надо зачеркнуть и стыдливо спрятать куда-нибудь в темное место! Гость, спасибо!
Способ Гостя.
Так как DA=DC1=DB=DC, то точки A, B, C и С1 лежат на одной окружности
После доказательства того, что С1 принадлежит описанной окружности, можно было бы перейти к вписанным в нее углам.
В первом случае получаем AC1B + ACB = 180. Во втором, AC1B = ACB.
Чертеж для первого случая.


SPI.С4.6. Медиана ВМ треугольника ABC равна его высоте АН. Найдите угол МВС.

Обозначим искомый угол α. Для его нахождения воспользуемся методом площадей. Учтем, что медиана ВМ треугольника АВС разбивает его на два равновеликих треугольника, то есть SΔАВС=2SΔВМС=ВМ*ВС*sinα. С другой стороны, SΔАВС=(1/2)*ВС*АН. Приравнивая площади и учитывая, что АН=ВМ, получаем, что sinα=1/2, откуда α=30° или α=150°. Рисунки , соответствующие этим случаям, выложены ниже.


Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.




С4 Вариант 8 из Ященко "Самое полное...и.т.д"
В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О — центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Известно, что ВС = 12, MN = 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

Вот мое решение. Интересует более легкое нахождение угла..



С4 вариант 9
Дана трапеция АВСД с боковыми сторонами АВ=36, СД=34 и верхним основанием ВС=10. Известно, что cos<АВС=-1/3. Найдите ВД.

Решение:

С4.10